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le Théorème de Bayes

Voici la question : Un dépistage médical est fiable en positivité à 90 % (90 % des positifs sont de vrais positifs, mais 10 % des résultats sont positifs malgré un sujet sain).

 

IZNOGOUD passe le test, il est positif. Quel est la probabilité pour que IZNOGOUD soit réellement malade ?

 

iznogoud

 

La réponse est : On n’en sait rien !

 

Pour connaître le facteur de risque d’IZNOGOUD, il faut connaître une information complémentaire, savoir la fréquence de la maladie dans la population générale, c’est à dire si la maladie est courante ou non (probabilité qu’une personne choisie au hasard soit atteinte).

 

Prenons un exemple : Si 1 % de la population est atteinte de l’affection, sur un groupe de 1 000 personnes, il y a 10 personnes atteintes.

 

Si les 1 000 personnes passent le test, 10 seront testés positifs (vrais positifs). Les autres, soit 990, ne sont pas malades mais 10 % d’entre eux, soit 99 personnes, seront testées positifs (faux positifs).

 

Les faux positifs dépassent ainsi les vrais positifs par 99 contre 10. La cote sera de 9,9 contre 1 (la cote d’un évènement est le taux de vrais positifs [10] par rapport aux faux positifs [99]).

 

La conclusion à laquelle appelle le Théorème est qu’un évènement peu probable reste peu probable malgré l’évidence produite par un test positif.

 

Notons que si le test est également fiable en négativité à 10 %, il testera positifs 9 personnes positives, la cote sera donc cette fois de 11 contre 1 (9 vrais positifs par rapport à 99 faux positifs).

 

 

Nous voyons pourquoi un test doit être extrêmement fiable pour ne pas engendrer de nombreux faux positifs qui déclencheraient un processus inutile de soins et pourraient au final, comme c’est le cas du cancer du sein, causer plus de tort que la maladie elle-même.

 

thomas-bayes

Le révérend presbytérien anglais du XVIIIème siècle Thomas Bayes, a donné son nom au Théorème de Bayes. Son travail ne fut publié que 7 ans après sa mort qui intervint en 1761.

 

Le théorème de Bayes soulève les questions philosophiques sur la véritable nature des probabilités ; en particulier l’apparition de la « probabilité préalable » de Bayes suggère qu’on ne peut significativement assigner une probabilité à un évènement sans d’abord connaître par des essais répétés la fréquence de cet évènement.

 

 

Deo Domtika

 

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